Exercice 12, § 6

Dans un anneau topologique $A$, on dit qu’un ensemble $M$ est borné à droite (resp. à gauche) si, pour tout voisinage $U$ de $0$ dans $A$, il existe un voisinage $V$ de $0$ tel que $VM \subset U$ (resp. $MV \subset U$); on dit que $M$ est borné s’il est à la fois borné à gauche et à droite. On dit que la topologie de $A$ est localement bornée (et que $A$ est un anneau topologique localement borné) s’il existe un voisinage de $0$ borné dans $A$. a) Tout anneau topologique admettant un système fondamental de voisinages de $0$ formé d’idéaux à droite est borné à droite. Montrer que si, dans l’exercice 10 a), on prend $I$ infini et pour $B$ un corps, l’anneau $A$ est borné à gauche mais aucun voisinage de $0$ dans $A$ n’est borné à droite. b) Si un anneau topologique $A$ est borné à droite (resp. borné) et admet un système fondamental de voisinages de $0$ qui sont des sous-groupes du groupe additif de $A$, alors il admet un système fondamental de voisinages de $0$ qui sont des idéaux à droite (resp. bilatères). c) Toute réunion finie d’ensembles bornés est bornée; l’adhérence d’un ensemble borné est bornée; si $M$ et $N$ sont bornés, il en est de même de $M + N$ et de $MN$. d) Dans un anneau topologique $A$, tout ensemble précompact est borné. e) Si $M$ et $N$ sont deux parties bornées de $A$, montrer que l’application $(x, y) \mapsto xy$ de $M \times N$ dans $A$ est uniformément continue. f) Soit $A$ un anneau topologique séparé. Montrer que si $(x_n)$ est une suite d’éléments inversibles tendant vers $0$ dans $A$, l’ensemble des $x_n^{-1}$ n’est pas borné (à gauche ou à droite) dans $A$. g) Si $A$ est un anneau borné, montrer que $x \mapsto x^{-1}$ est uniformément continue, dans l’ensemble $A^*$ des éléments inversibles de $A$. h) Montrer que dans un anneau borné, séparé et complet $A$, l’ensemble $A^*$ des éléments inversibles et le radical de $A$ sont fermés (utiliser g)). i) Dans un produit $\prod_i A_i$ d’anneaux topologiques, pour qu’un ensemble soit borné, il faut et il suffit que toutes ses projections le soient. j) Tout sous-anneau d’un anneau localement borné, et tout produit d’anneaux localement bornés, est un anneau localement borné. k) Le complété d’un anneau séparé localement borné est localement borné.