Bài tập 12, § 6

Một tập con $M$ của một vành tôpô được gọi là bị chặn phải (tương ứng bị chặn trái) nếu, với mỗi lân cận $U$ của $o$ trong $A$, tồn tại một lân cận $V$ của $o$ sao cho $VM \subset U$ (tương ứng $MV \subset U$); $M$ là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trái vừa bị chặn phải. Tôpô của $A$ được gọi là địa phương bị chặn (và $A$ được gọi là một vành tôpô địa phương bị chặn) nếu có một lân cận bị chặn của $o$ trong $A$.

a) Mọi vành tôpô có một hệ lân cận cơ bản của $o$ gồm các iđêan phải đều bị chặn phải. Chứng minh rằng nếu $I$ là vô hạn và $B$ là một vành chia trong Bài tập 10 a), thì vành $A$ bị chặn trái, nhưng không có lân cận bị chặn phải nào của $o$ trong $A$.

b) Nếu một vành tôpô $A$ bị chặn phải (tương ứng bị chặn) và có một hệ lân cận cơ bản của $o$ là các nhóm con của nhóm cộng của $A$, thì nó có một hệ lân cận cơ bản của $o$ là các iđêan phải (tương ứng hai phía).

c) Mọi hợp hữu hạn của các tập hợp bị chặn đều bị chặn; bao đóng của một tập hợp bị chặn là bị chặn; nếu $M$ và $N$ bị chặn, thì $M + N$ và $MN$ cũng vậy.

d) Mọi tập hợp tiền compact trong một vành tôpô $A$ đều bị chặn.

e) Nếu $M$ và $N$ là hai tập con bị chặn của $A$, hãy chứng minh rằng ánh xạ $(x, y) \to xy$ các phần tử của $M \times N$ vào $A$ là liên tục đều.

f) Cho $A$ là một vành tôpô Hausdorff có một phần tử đơn vị. Chứng minh rằng nếu $(x_n)$ là một dãy các phần tử khả nghịch tiến tới $o$ trong $A$, thì tập hợp các phần tử $x_n^{-1}$ không bị chặn trái cũng không bị chặn phải.

g) Nếu $A$ là một vành bị chặn có một phần tử đơn vị, hãy chứng minh rằng ánh xạ $x \to x^{-1}$ là liên tục đều trên tập hợp $A^*$ các phần tử khả nghịch của $A$.

h) Chứng minh rằng nếu $A$ là một vành Hausdorff đầy đủ bị chặn có một phần tử đơn vị, thì tập hợp $A^*$ các phần tử khả nghịch và căn của $A$ là đóng [dùng g)].

i) Một tập con của một tích $\prod_i A_i$ của các vành tôpô là bị chặn khi và chỉ khi mọi ảnh chiếu của nó đều bị chặn.

j) Mọi vành con của một vành địa phương bị chặn và mọi tích của các vành địa phương bị chặn đều là các vành địa phương bị chặn.

k) Phép hoàn thành của một vành Hausdorff địa phương bị chặn là địa phương bị chặn.