Exercice 20, § 6

a) Soit $K$ un corps muni d’une topologie séparée non discrète $\mathscr{T}$ compatible avec sa structure d’anneau. Pour qu’une partie $M$ de $K$ soit bornée à droite (resp. à gauche), il faut et il suffit que pour tout voisinage $U$ de 0 il existe $a \in K^*$ tel que $aM \subset U$ (resp. $Ma \subset U$); $M$ est alors aussi borné à droite (resp. à gauche) pour toute topologie séparée $\mathscr{T}'$ moins fine que $\mathscr{T}$ et compatible avec la structure d’anneau de $K$.

b) Si $\mathscr{T}$ est localement bornée (III, p. 81, exerc. 12), et $U$ est un voisinage borné de 0 pour $\mathscr{T}$, l’ensemble des $xU$ (resp. $Ux$) où $x$ parcourt $K^*$, est un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$. Pour que tout point de $K$ admette un système fondamental dénombrable de voisinages pour $\mathscr{T}$, il faut et il suffit qu’il existe une suite $(a_n)$ de points de $K$ ayant 0 pour valeur d’adhérence.

c) Toute borne supérieure d’une famille finie de topologies localement bornées sur $K$ (compatibles avec la structure d’anneau de $K$) est localement bornée. Réciproquement, si la borne supérieure $\mathscr{T}$ d’une famille $(\mathscr{T}_i)$ de topologies localement bornées sur $K$ est localement bornée, $\mathscr{T}$ est déjà la borne supérieure d’une sous-famille finie de $(\mathscr{T}_i)$. (Remarquer que si $U$ est un voisinage de 0 borné pour $\mathscr{T}$, il existe un système fini d’indices $(i_k)$, et pour chaque $k$ un voisinage borné $V_k$ de 0 pour $\mathscr{T}_{i_k}$ tel que $\bigcap_k V_k \subset U$; d’autre part, il existe $a_k \in K^*$ tel que $U \subset a_k V_k$).

d) On dit qu’une partie $F$ d’un corps $K$ est un quasi-anneau si on a $F \neq K, 0 \in F, 1 \in F, -F = F, FF \subset F$, s’il existe un élément $c \in F^* = F \cap K^*$ tel que $c(F + F) \subset F$ et enfin si, pour tout $x \in F$, il existe $y \in F$, tel que $yF \subset Fx$ et $Fy \subset xF$. Montrer que si $\mathscr{T}$ est une topologie séparée, non discrète, compatible avec la structure d’anneau de $K$ et localement bornée, tout voisinage borné symétrique $U$ de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que $UU \subset U$ et $1 \in U$ est un quasi-anneau, et on a $U^*(U^*)^{-1} = K^*$ (exerc. 19 b)). Si $V$ est un voisinage borné symétrique quelconque de 0 pour $\mathscr{T}$, l’ensemble $U$ des $x \in K$ tels que $xV \subset V$ (ou $Vx \subset V$) est un voisinage borné symétrique de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que $UU \subset U$ et $1 \in U$, donc un quasi-anneau.

e) Réciproquement, soit $F$ un quasi-anneau dans $K$ tel que $F^*(F^*)^{-1} = K^*$. Montrer qu’il existe une topologie séparée $\mathscr{T}$, non discrète, compatible avec la structure d’anneau de K et telle que F soit un voisinage borné de 0 pour $\mathscr{T}$. On peut prendre en particulier pour F tout sous-anneau A de K tel que K soit corps des quotients à droite de A (A, I, p. 155, exerc. 15). En particulier, si $K = \mathbf{Q}$ et $F = \mathbf{Z}$, la topologie $\mathscr{T}$ correspondante sur K n’est pas compatible avec sa structure de corps.