Bài tập 20, § 6

a) Cho $K$ là một vành chia được trang bị một tôpô Hausdorff không rời rạc $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc vành của $K$. Một tập con $M$ của $K$ là bị chặn phải (tương ứng trái) khi và chỉ khi, với mỗi lân cận $U$ của $o$ tồn tại $a \in K^*$ sao cho $aM \subset U$ (tương ứng $Ma \subset U$); khi đó $M$ là bị chặn phải (tương ứng trái) đối với mọi tôpô Hausdorff $\mathfrak{T}'$ thô hơn $\mathfrak{T}$ và tương thích với cấu trúc vành của $K$.

b) Nếu $\mathfrak{T}$ là bị chặn địa phương (Bài tập 12) và nếu $U$ là một lân cận bị chặn của $o$ đối với $\mathfrak{T}$, thì các tập hợp $xU$ (tương ứng $Ux$) tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của $o$ (đối với $\mathfrak{T}$) khi $x$ chạy qua $K^*$. Mọi điểm của $K$ có một hệ cơ sở đếm được các lân cận của $o$ đối với $\mathfrak{T}$ khi và chỉ khi tồn tại một dãy $(a_n)$ các điểm của $K$ có $o$ là một điểm tụ.

c) Cận trên nhỏ nhất của mọi họ hữu hạn các tôpô bị chặn địa phương trên $K$ (tương thích với cấu trúc vành của $K$) là bị chặn địa phương. Ngược lại, nếu cận trên nhỏ nhất $\mathfrak{T}$ của một họ $(\mathfrak{T}_i)$ các tôpô bị chặn địa phương trên $K$ là bị chặn địa phương, thì $\mathfrak{T}$ là cận trên nhỏ nhất của một họ con hữu hạn của $(\mathfrak{T}_i)$. (Nhận xét rằng nếu $U$ là một lân cận của $o$ bị chặn đối với $\mathfrak{T}$, thì tồn tại một hệ hữu hạn các chỉ số $(l_k)$ và với mỗi $k$ một lân cận $V_k$ của $o$, bị chặn đối với $\mathfrak{T}_{l_k}$, sao cho $\bigcap V_k \subset U$; mặt khác, tồn tại $a_k \in K^*$ sao cho $U \subset a_k V_k$.)

d) Một tập con $F$ của một vành chia $K$ được gọi là một vành gần nếu: (i) $F \neq K$, $o \in F$, $1 \in F$, $-F = F$, $FF \subset F$; (ii) có một phần tử $c \in F^* = F \cap K^*$ sao cho $c(F + F) \subset F$; và (iii) với mỗi $x \in F$, tồn tại $y \in F$ sao cho $yF \subset Fx$ và $Fy \subset xF$. Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{T}$ là một tôpô Hausdorff không rời rạc, địa phương bị chặn và tương thích với cấu trúc vành của $K$, thì mọi lân cận bị chặn đối xứng $U$ của $o$ (đối với $\mathfrak{T}$), sao cho $UU \subset U$ và $1 \in U$, đều là một vành gần, và $U^*(U^*)^{-1} = K^*$ [Bài tập 19 b)]. Nếu $V$ là một lân cận bị chặn đối xứng bất kỳ của $o$ đối với $\mathfrak{T}$, thì tập hợp $U$ gồm các phần tử $x \in K$ sao cho $xV \subset V$ (hoặc $Vx \subset V$) là một lân cận bị chặn đối xứng của $o$ đối với $\mathfrak{T}$ sao cho $UU \subset U$ và $1 \in U$, và do đó là một vành gần.

e) Ngược lại, cho $F$ là một vành gần trong $K$ sao cho $F^*(F^*)^{-1} = K^*$. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô Hausdorff $\mathfrak{T}$ không rời rạc và tương thích với cấu trúc vành của $K$, sao cho $F$ là một lân cận bị chặn của $o$ đối với $\mathfrak{T}$. Đặc biệt, ta có thể lấy $F$ là một vành con $A$ bất kỳ của $K$ sao cho $K$ là vành chia của các phân thức phải của $A$. Đặc biệt, nếu $K = \mathbf{Q}$ và $F = \mathbf{Z}$, thì tôpô tương ứng $\mathfrak{T}$ trên $K$ không tương thích với cấu trúc trường của $K$.