Exercice 4, § 6

Soit $(x_i)$ une famille sommable dans un anneau topologique séparé A, et soit s sa somme; pour tout $a \in A$, la famille $(ax_i)$ (resp. $(x_i a)$) est sommable et a pour somme $as$ (resp. $sa$). Si $(x_\lambda)$ et $(y_\mu)$ sont deux familles sommables dans A, telles que la famille $(x_\lambda y_\mu)$ soit sommable, on a $\sum_{\lambda,\mu} x_\lambda y_\mu = (\sum_\lambda x_\lambda)(\sum_\mu x_\mu)$. Si A est en outre complet et si un des $x_\lambda$ est inversible, la sommabilité de la famille $(x_\lambda y_\mu)$ entraîne celle de $(y_\mu)$.