Exercice 5, § 6

Topologie générale, III, p. 80

On appelle rectangle une partie de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ qui est le produit de deux intervalles de $\mathbf{N}$ ; étant donnée une partie finie E de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ , soit $\varphi(E)$ le plus petit nombre de rectangles deux à deux disjoints dont la réunion soit E. Soit $(E_n)$ une suite croissante de parties finies de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ , formant un recouvrement de $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ , et telle que la suite $(\varphi(E_n))$ soit bornée. Si $(x_n), (y_n)$ sont deux séries convergentes dont les termes appartiennent à un anneau topologique séparé A, on a

\lim_{n \to \infty} \sum_{(h,k) \in E_n} x_h y_k = (\sum_{n=0}^\infty x_n)(\sum_{n=0}^\infty y_n).

Former un exemple d’une suite $(E_n)$ satisfaisant aux conditions ci-dessus et telle que $E_{n+1} - E_n$ ne contienne qu’un seul élément pour tout n.

Solution

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