Bài tập 5, § 6

Một hình chữ nhật là một tập con của $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ là tích của hai khoảng của N. Cho một tập con hữu hạn E của $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$, gọi $\varphi(E)$ là số nhỏ nhất các hình chữ nhật đôi một rời nhau mà hợp của chúng là E. Cho $(E_n)$ là một dãy tăng các tập con hữu hạn của $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ phủ $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ và sao cho dãy $(\varphi(E_n))$ bị chặn. Nếu $(x_n), (y_n)$ là hai chuỗi hội tụ có các số hạng thuộc một vành tôpô Hausdorff A, thì ta có

Xây dựng một ví dụ về một dãy $(E_n)$ thỏa mãn các điều kiện trên và sao cho $E_{n+1} - E_n$ chỉ chứa một phần tử đối với mỗi n.