Exercice 8, § 6

Soit A un anneau topologique. a) Pour que l’ensemble $A^*$ des éléments inversibles de A soit ouvert dans A, il faut et il suffit qu’il existe un voisinage V de 1 dont tous les éléments soient inversible dans A. b) Si $A^*$ est ouvert dans A, tout idéal maximal (à droite ou à gauche) de A est fermé, et le radical de A est fermé. Si A n’a pas d’idéaux à gauche fermés autres que $\{0\}$ et A, A est un corps (A, I, p. 109, th. 1). c) Soit A le sous-anneau du corps topologique $\mathbf{Q}$ formé des $k/2^n$ ($k \in \mathbf{Z}, n \in \mathbf{N}$); montrer qu’il ne contient aucun idéal fermé autre que $\{0\}$ et A, mais n’est pas un corps.