Bài tập 8, § 6

Cho A là một vành tôpô có một phần tử đơn vị. a) Tập hợp $A^*$ gồm các phần tử khả nghịch của A là mở trong A khi và chỉ khi tồn tại một lân cận V của 1 mà mọi phần tử của nó đều là các phần tử khả nghịch trong A. b) Nếu $A^*$ là mở trong A thì mọi iđêan cực đại (trái hoặc phải) của A đều đóng, và căn của A là đóng. Nếu A không có iđêan trái đóng nào khác ngoài $\{0\}$ và A, thì A là một vành chia.

c) Cho $A$ là vành con của trường tôpô $\mathbf{Q}$ gồm tất cả các số hữu tỉ $k/2^n \ (k \in \mathbf{Z},\ n \in \mathbf{N})$. Chứng minh rằng $A$ không chứa iđêan đóng nào khác ngoài $\{0\}$ và $A$, nhưng không phải là một trường.