Exercice 4, § 7

Soient $G$ un groupe topologique séparé, $(H_\alpha)$ une famille filtrante de sous-groupes distingués compacts vérifiant la condition (AP) de III, p. 60. Soit $(L_\alpha)$ une famille de sous-groupe fermés de $G$ tels que $H_\alpha \subset L_\alpha$ pour tout $\alpha \in I$ et $L_\alpha = H_\alpha L_\beta$ pour $\alpha \leq \beta$; si l’on pose $L = \bigcap_\alpha L_\alpha$, montrer que l’on a $L_\alpha = H_\alpha L$ pour tout $\alpha$ (utiliser la prop. 3 de III, p. 62).