Exercice 1, § 1

Sur un groupe commutatif ordonné G, on dit qu’une topologie $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe ordonné de G si elle est compatible avec la structure de groupe de G et si l’ensemble $G_+$ des $x \geq 0$ est fermé pour $\mathscr{T}$.

a) Soient $\mathscr{T}$ une topologie séparée compatible avec la structure de groupe ordonné de G, et soit $\hat{G}$ le complété de G (pour $\mathscr{T}$); dans le groupe $\hat{G}$, l’adhérence P de $G_+$ est telle que $y - x \in P$ soit une relation de préordre compatible avec la structure de groupe de $\hat{G}$.

b) Soit $\theta$ un nombre irrationnel; on considère dans $\mathbf{Q}^2$ la relation d’ordre pour laquelle l’ensemble des éléments positifs est formé de $(0, 0)$ et des couples $(x, y)$ tels que $y - \theta x \geq 0$. Pour cette structure d’ordre, $\mathbf{Q}^2$ est un groupe totalement ordonné G, et la topologie produit de celle de la droite rationnelle par elle-même est compatible avec cette structure de groupe ordonné. Mais sur $\hat{G} = \mathbf{R}^2$, la relation $y - x \in P = \bar{G}_+$ n’est pas une relation d’ordre.

c) Sur un groupe totalement ordonné G, la topologie $\mathscr{T}_0(G)$ (I, p. 91, exerc. 5) est la moins fine des topologies compatibles avec la structure de groupe ordonné (distinguer deux cas suivant que l’ensemble des $x > 0$ admet ou non un plus petit élément); toute topologie sur G, compatible avec la structure de groupe de G et plus fine que $\mathscr{T}_0(G)$, est compatible avec la structure de groupe ordonné, et pour une telle topologie, $x \mapsto x^+$ est continue; mais montrer que $x \mapsto x^+$ est uniformément continue pour $\mathscr{T}_0(G)$, mais non nécessairement pour une topologie de groupe $\mathscr{T}$ plus fine que $\mathscr{T}_0(G)$ (voir b)).