Bài tập 1, § 1

Một tôpô $\mathfrak{T}$ trên một nhóm giao hoán có thứ tự $G$ được gọi là tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G$ nếu nó tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ và nếu ngoài ra tập hợp $G_+$ gồm các phần tử $x \geq 0$ trong $G$ là đóng đối với $\mathfrak{T}$.

a) Cho $\mathfrak{T}$ là một tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G$, và cho $\hat{G}$ là phần hoàn thành của $G$ (đối với $\mathfrak{T}$). Trong nhóm $\hat{G}$, bao đóng $P$ của $G_+$ có tính chất là $y - x \in P$ là một quan hệ tiền thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm của $\hat{G}$.

b) Cho $\theta$ là một số vô tỉ, và xét quan hệ thứ tự trên $\mathbf{Q}^2$ mà tập hợp các phần tử dương gồm $(0, 0)$ và mọi cặp $(x, y)$ sao cho $y - \theta x \geq 0$. Đối với quan hệ thứ tự này, $\mathbf{Q}^2$ là một nhóm có thứ tự tuyến tính, và tôpô trên $\mathbf{Q}^2$ là tích của tôpô của đường thẳng hữu tỉ với chính nó thì tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự này. Nhưng trên $\hat{G} = \mathbf{R}^2$, quan hệ $y - x \in P = \overline{G}_+$ không phải là một quan hệ thứ tự.

c) Trên một nhóm có thứ tự tuyến tính $G$, tôpô $\mathfrak{T}_0(G)$ (Chương I, § 2, Bài tập 5) là tôpô thô nhất trong tất cả các tôpô tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự (phân biệt hai trường hợp, tùy theo tập hợp tất cả các $x > 0$ có hay không có một phần tử nhỏ nhất). Mọi tôpô trên $G$ tương thích với cấu trúc nhóm của $G$ và mịn hơn $\mathfrak{T}_0(G)$ đều tương thích với cấu trúc nhóm có thứ tự của $G$, và ánh xạ $x \to x^+$ là liên tục đối với một tôpô như vậy. Ánh xạ này là liên tục đều đối với $\mathfrak{T}_0(G)$, nhưng không nhất thiết đối với một tôpô nhóm $\mathfrak{T}$ thực sự mịn hơn $\mathfrak{T}_0(G)$ [xem b)].