Exercice 2, § 3

a) Sur l’anneau de polynômes $A = \mathbf{R}[X]$, on considère la structure d’anneau totalement ordonné pour laquelle les éléments $\geqslant 0$ sont 0 et les polynômes $\neq 0$ dont le coefficient dominant est $> 0$. Montrer que la topologie $\mathscr{T}_0(A)$ (I, p. 91, exerc. 5) n’est pas compatible avec la structure d’anneau de A.

b) Sur un corps ordonné K (A, VI, § 2, n° 2) la topologie $\mathscr{T}_0(K)$ est compatible avec la structure d’anneau de K et les ensembles bornés pour cette topologie d’anneau (III, p. 81, exerc. 12) sont les ensembles bornés pour la structure d’ordre. La topologie $\mathscr{T}_0(K)$ est localement rétrobornée (III, p. 83, exerc. 22), et en particulier compatible avec la structure de corps de K; en outre le complété $\hat{K}$ de K pour cette topologie, qui est un corps (loc. cit.), est canoniquement muni d’une structure de corps ordonné (IV, p. 46, exerc. 3 b)).

c) Sur le corps $K = \mathbf{Q}(\sqrt{2})$, considéré comme sous-corps ordonné de $\mathbf{R}$, on considère la topologie $\mathscr{T}$, transportée de la topologie produit sur $\mathbf{Q}^2$ par la bijection $(x, y) \mapsto x + y\sqrt{2}$. Cette topologie est plus fine que $\mathscr{T}_0(K)$ et compatible avec la structure de corps de K; mais le complété de ce corps topologique n’est pas un corps.

d) Le corps $K = \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})$, considéré comme espace vectoriel sur $\mathbf{Q}$, est somme directe du sous-espace vectoriel G' engendré par 1 et $\sqrt[3]{2}$ et du sous-espace vectoriel G'' engendré par $\sqrt[3]{4}$. On considère sur G' et sur G'' les topologies induites par celle de $\mathbf{R}$, sur K la topologie $\mathscr{T}$ produit des topologies de G' et de G''. Montrer que $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de groupe additif de K et est plus fine que $\mathscr{T}_0(K)$ (quand K est considéré comme sous-corps ordonné de $\mathbf{R}$), mais n’est pas compatible avec la structure d’anneau de K.