Bài tập 2, § 3

a) Trên vành đa thức $A = \mathbf{R}[X]$, xét cấu trúc vành có thứ tự tuyến tính trong đó các phần tử $\geqslant 0$ là $0$ và tất cả các đa thức $\neq 0$ có hệ số đầu là $> 0$. Chứng minh rằng tôpô $\mathfrak{T}_0(A)$ không tương thích với cấu trúc vành của $A$.

b) Nếu $K$ là một trường có thứ tự thì tôpô $\mathfrak{T}_0(K)$ tương thích với cấu trúc vành của $K$, và các tập hợp bị chặn đối với tôpô vành này (Chương III, § 6, Bài tập 12) là các tập hợp bị chặn đối với cấu trúc cấp. Tôpô $\mathfrak{T}_0(K)$ là địa phương phản bị chặn (Chương III, § 6, Bài tập 22) và đặc biệt tương thích với cấu trúc trường của $K$; hơn nữa phép hoàn thành $\hat{K}$ của $K$ đối với tôpô này, là một trường (\emph{loc. cit.}) được trang bị một cách chính tắc cấu trúc của một trường có thứ tự [§ 1, Bài tập 3 b)].

c) Trên trường $K = \mathbf{Q}(\sqrt{2})$, được xem như một trường con có thứ tự của $\mathbf{R}$, xét tôpô $\mathfrak{T}$ sao cho $(x, y) \to x + y \sqrt{2}$ là một đồng phôi từ $\mathbf{Q}^2$ lên $K$, $\mathbf{Q}^2$ mang tôpô tích. Tôpô $\mathfrak{T}$ này mịn hơn $\mathfrak{T}_0(K)$ và tương thích với cấu trúc trường của $K$; nhưng phép hoàn thành của trường tôpô này không phải là một trường.

d) Trường $K = \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})$, được xem như một không gian vectơ trên $\mathbf{Q}$, là tổng trực tiếp của không gian con vectơ $G'$ sinh bởi $1$ và $\sqrt[3]{2}$, và không gian con vectơ $G''$ sinh bởi $\sqrt[3]{4}$. Xét các tôpô trên $G'$ và $G''$ cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}$; gọi $\mathfrak{T}$ là tôpô trên $K$ là tích của các tôpô của $G'$ và $G''$. Chứng minh rằng $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm cộng của $K$ và mịn hơn $\mathfrak{T}_0(K)$ ($K$ được xem như một trường con có thứ tự của $\mathbf{R}$) nhưng không tương thích với cấu trúc vành của $K$.