Exercice 3, § 3

a) Si $f$ est un isomorphisme du corps $\mathbf{R}$ sur un sous-corps de $\mathbf{R}$, montrer que $f$ est nécessairement l’application identique de $\mathbf{R}$ sur lui-même. (Remarquer que les nombres rationnels sont invariants par $f$ et d’autre part que $f(x^2) = (f(x))^2 \geqslant 0$, donc que $f$ est croissant).

b) Soit $K_0$ le corps $\mathbf{R}(X)$ des fractions rationnelles à une indéterminée sur $\mathbf{R}$, ordonné en prenant comme polynômes $> 0$ ceux dont le coefficient dominant est $> 0$. Soit K l’extension algébrique ordonnée maximale de $K_0$. Montrer qu’il existe un automorphisme croissant $f$ de K tel que $f(\xi) = \xi$ pour $\xi \in \mathbf{R}$ et $f(X) = X^2$ (utiliser A, VI, § 2, exerc. 15).