Bài tập 3, § 3

a) Nếu $f$ là một đẳng cấu của trường $\mathbf{R}$ lên một trường con của $\mathbf{R}$, hãy chỉ ra rằng $f$ phải là ánh xạ đồng nhất của $\mathbf{R}$ lên chính nó. [Lưu ý rằng mọi số hữu tỉ đều bất biến qua $f$ và rằng

do đó $f$ là tăng].

b) Cho $K_0$ là trường $\mathbf{R}(X)$ gồm các phân thức hữu tỉ theo một bất định trên $\mathbf{R}$, được sắp thứ tự bằng cách lấy các đa thức $> 0$ là những đa thức có hệ số đầu $> 0$. Cho $K$ là mở rộng đại số có thứ tự cực đại của $K_0$. Hãy chỉ ra rằng tồn tại một tự đẳng cấu bảo toàn thứ tự $f$ của $K$ sao cho $f(\xi) = \xi$ với mọi $\xi \in \mathbf{R}$ và $f(X) = X^2(*)$.