Exercice 7, § 4

Soit E un ensemble totalement ordonné.

a) Soit $E_1$ l’achèvement de E (E, III, p. 72, exerc. 15), ensemble totalement ordonné dont les éléments sont les parties X de E telles que: 1° si $x \in X$ et $y \leqslant x$, alors $y \in X$; 2° si X possède une borne supérieure dans E, cette borne appartient à X (condition qui équivaut à dire que X est fermé pour $\mathscr{T}_0(E)$ (I, p. 91, exerc. 5)); les éléments de $E_1$ sont ordonnés par inclusion. Pour la topologie $\mathscr{T}_0(E_1)$, $E_1$ est compact (IV, p. 47, exerc. 6 a)). L’application $x \mapsto \leftarrow, x$ de E dans $E_1$ est strictement croissante et si on identifie E à son image par cette application, E est dense dans $E_1$ et $\mathscr{T}_0(E)$ est induite par $\mathscr{T}_0(E_1)$. Pour que $E_1$ soit connexe, il faut et il suffit que E soit sans trou (IV, p. 48, exerc. 7).

b) Pour tout cardinal c, donner un exemple d’espace totalement ordonné E connexe pour $\mathscr{T}_0(E)$ et tel que tout système fondamental de voisinages d’un point quelconque de E ait un cardinal $\geqslant c$ (utiliser a) et la méthode de IV, p. 46, exerc. 4 b)).

c) Avec les notations de a), soit $E_2$ le sous-ensemble du produit lexicographique $E_1 \times \{-1, 0, 1\}$, complémentaire de l’ensemble formé: 1° des points $(x, 0)$, où $x \notin E$; 2° des points $(x, 1)$ où $x \in E$ et l’ensemble des $y > x$ dans E a un plus petit élément; 3° des points $(x, -1)$ où $x \in E$ et l’ensemble des $y < x$ dans E a un plus grand élément. Montrer que $E_2$, muni de $\mathscr{T}_0(E_2)$, est compact et totalement discontinu, que E s’identifie par l’application strictement croissante $x \mapsto (x, 0)$ à une partie partout dense de $E_2$ et que la topologie induite sur E par $\mathscr{T}_0(E_2)$ est la topologie discrète.

d) Soit $E'$ un ensemble totalement ordonné contenant E, induisant sur E la structure d’ordre donnée, compact pour $\mathscr{T}_0(E')$ et tel que E soit dense dans $E'$ pour cette topologie. Montrer qu’il existe une application surjective croissante et continue $f : E' \to E_1$ et une application surjective croissante et continue $g : E_2 \to E'$, qui se réduisent à l’application identique dans E.