Bài tập 7, § 4

Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính.

a) Gọi $X_1$ là phần bù của $X$ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 15). $X_1$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính mà các phần tử của nó là các tập con $A$ của $X$ sao cho; (i) nếu $x \in A$ và $y \leq x$, thì $y \in A$; (ii) nếu $A$ có một cận trên nhỏ nhất trong $X$, thì cận này thuộc về $A$ [điều này tương đương với việc nói rằng $A$ là đóng trong $\mathfrak{T}_0(X)$]; các phần tử của $X_1$ được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm. $X_1$ là compact đối với tôpô $\mathfrak{T}_0(X_1)$ [§ 2, Bài tập 6 a)]. Ánh xạ $x \to ]\leftarrow, x]$ từ $X$ vào $X_1$ bảo toàn cấp nghiêm ngặt, và nếu ta đồng nhất $X$ với ảnh của nó qua ánh xạ này, thì $X$ là trù mật trong $X_1$ và $\mathfrak{T}_0(X)$ được cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_0(X_1)$. $X_1$ liên thông khi và chỉ khi $X$ không có khoảng trống (§ 2, Bài tập 7).

b) Với mỗi lực lượng $c$, hãy cho một ví dụ về một tập hợp có thứ tự tuyến tính $X$ liên thông trong tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$ và sao cho mọi hệ cơ sở các lân cận của bất kỳ điểm nào của $X$ đều có lực lượng $\geq c$ [dùng a) và phương pháp của § 1, Bài tập 4 b)].

c) Với ký hiệu của a), gọi $X_2$ là tập con của tích từ điển $X_1 \times \{-1, 0, 1\}$ là phần bù của tập hợp gồm: (i) các điểm $(x, 0)$ với $x \notin X$; (ii) các điểm $(x, 1)$ với $x \in X$ và tập hợp tất cả các $y > x$ trong $X$ có một phần tử nhỏ nhất; (iii) các điểm $(x, -1)$ với $x \in X$ và tập hợp tất cả các $y < x$ trong $X$ có một phần tử lớn nhất. Chứng minh rằng $X_2$, được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X_2)$, là compact và hoàn toàn không liên thông, rằng $X$ có thể được đồng nhất, bằng ánh xạ bảo toàn cấp nghiêm ngặt $x \to (x, 0)$, với một tập con trù mật của $X_2$, và rằng tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_0(X_2)$ trên $X$ là rời rạc.

d) Gọi $X'$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính chứa $X$ cảm sinh cấu trúc cấp đã cho trên $X$, compact trong tôpô $\mathfrak{T}_0(X')$ và sao cho $X$ trù mật trong $X'$ đối với tôpô này. Chứng minh rằng có một ánh xạ toàn ánh bảo toàn cấp liên tục $f : X' \to X_1$ và một ánh xạ toàn ánh bảo toàn cấp liên tục $g : X_2 \to X'$, cả hai đều cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $X$.