Exercice 1, § 5

Soient $E_1, E_2$ deux ensembles ordonnés filtrants à droite, et $f$ une fonction numérique définie dans $E_1 \times E_2$ telle que, pour tout $x_1 \in E_1$, l’application $x_2 \mapsto f(x_1, x_2)$ soit croissante dans $E_2$ et que, pour tout $x_2 \in E_2$, l’application $x_1 \mapsto f(x_1, x_2)$ soit croissante dans $E_1$. Montrer que, suivant le produit des filtres des sections de $E_1$ et de $E_2$, $f$ a une limite dans $\overline{\mathbf{R}}$, égale à sa borne supérieure.