Exercice 14, § 5

Topologie générale, IV, p. 54

Soit $(r_n)$ une suite croissante de nombres finis $> 0$ , telle que $\lim r_n = +\infty$ ; pour tout nombre réel fini $r > 0$ , on désigne par $N(r)$ le plus grand indice $n$ tel que $r_n \leqslant r$ . Montrer que

\limsup_{r \to \infty} \frac{N(r)}{r} = \limsup_{n \to \infty} \frac{n}{r_n}, \quad \liminf_{r \to \infty} \frac{N(r)}{r} = \liminf_{n \to \infty} \frac{n}{r_n}.

Solution

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