Exercice 16, § 5

Soient $x_0, y_0$ deux nombres réels tels que $0 < y_0 \leqslant x_0$; pour $n > 0$, on définit par récurrence deux suites $(x_n), (y_n)$ par les relations $x_{n+1} = (x_n + y_n)/2, y_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}$. Montrer que les deux suites $(x_n), (y_n)$ tendent vers une même limite $\alpha$ (« moyenne arithmético-géométrique » de $x_0$ et $y_0$); en outre, il existe des nombres $a > 0, \gamma$ tel que $0 < \gamma < 1$, tels que $x_n - y_n \leqslant a \gamma^{2^n}$ pour tout $n$ (observer que $x_{n+1} - y_{n+1} = (x_n - y_n)^2/4(x_{n+1} + y_{n+1})$).