Exercice 17, § 5

Soit $g$ une application de $]0, 1]$ dans $(-1, 1)$ telle que $\lim_{x \to 0, x > 0} g(x) = 0$. Montrer qu’il existe une application continue croissante $g_2$ et une application continue décroissante $g_1$ de $(0, 1)$ dans $(-1, 1)$, telles que $g_1(0) = g_2(0) = 0$ et $g_1(x) \leqslant g(x) \leqslant g_2(x)$ pour $0 < x \leqslant 1$. (Pour tout entier $n > 0$, considérer la borne inférieure $x_n$ des $x$ tels que $g(x) \geqslant 1/n$.)