Exercice 4, § 5

Topologie générale, IV, p. 53

Soient $f, g$ deux fonctions numériques définies dans un ensemble E filtré par un filtre $\mathfrak{F}$ . Montrer que

\limsup_{\mathfrak{G}} (\sup(f, g)) = \sup(\limsup_{\mathfrak{G}} f, \limsup_{\mathfrak{G}} g).

Donner un exemple d’un ensemble E filtré par un filtre

\mathfrak{F}

et d’une famille infinie

(f_i)

de fonctions numériques définies dans E et telle que

\sup_i (\limsup_{\mathfrak{G}} f_i) < \limsup_{\mathfrak{G}} (\sup f_i).

Solution

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