Exercice 11, § 6

On munit $\overline{\mathbf{R}}$ de la topologie droite (I, p. 90, exerc. 2); pour qu’une application $f$ d’un espace topologique E dans $\overline{\mathbf{R}}$ soit continue au sens de cette topologie, il faut et il suffit que $f$ admette un minimum relatif en tout point de E. Si on prend $E = \mathbf{R}$ (muni de la topologie usuelle), montrer que l’ensemble $f(E)$ est alors dénombrable. (Raisonnant par l’absurde, supposons que l’intervalle $[\alpha, \beta] \cap f(E)$ soit non dénombrable, et pour tout $y \in [\alpha, \beta]$, soit $U(y) = f^{-1}((y, +\infty))$, qui est un ensemble ouvert dans $\mathbf{R}$. Soit $(I_n)$ la suite (finie ou infinie) des composantes connexes de $U(\beta)$ et pour chaque $n$, soit $x_n \in I_n$; pour tout $y \in [\alpha, \beta]$, soit $g_n(y)$ (resp. $h_n(y)$) l’origine (resp. l’extrémité) de la composante connexe de $U(y)$ contenant $x_n$; montrer que pour un $n$ au moins une des fonctions $g_n, h_n$ doit prendre une infinité non dénombrable de valeurs distinctes dans $[\alpha, \beta]$, et conclure à l’aide de l’exerc. 8 de IV, p. 54.)