Bài tập 11, § 6

Cho $\overline{\mathbf{R}}$ mang tôpô phải (Chương I, § 1, Bài tập 2). Một ánh xạ $f$ của một không gian tôpô $X$ vào $\overline{\mathbf{R}}$ là liên tục đối với tôpô này khi và chỉ khi $f$ có một cực tiểu tương đối tại mọi điểm của $X$. Nếu $X = \mathbf{R}$ (với tôpô thông thường), hãy chứng minh rằng tập hợp $f(X)$ khi đó là đếm được. [Giả sử rằng kết quả là sai, và rằng khoảng $[\alpha, \beta] \cap f(X)$ là không đếm được; với mỗi $y \in [\alpha, \beta]$, đặt $U(y) = \overline{f}^{-1}([y, +\infty])$; $U(y)$ là một tập con mở trong $\mathbf{R}$. Gọi $(I_n)$ là dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các thành phần của $U(\beta)$, và với mỗi $n$ lấy $x_n$ là một điểm của $I_n$; với mỗi $y \in [\alpha, \beta]$, gọi $g_n(y)$ (tương ứng $h_n(y)$) là điểm đầu mút trái (tương ứng phải) của thành phần của $U(y)$ chứa $x_n$. Hãy chứng minh rằng với ít nhất một giá trị của $n$, một trong các hàm $g_n, h_n$ phải nhận một vô hạn không đếm được các giá trị phân biệt trong $[\alpha, \beta]$; bây giờ sử dụng Bài tập 8 của § 5].