Exercice 16, § 6

Soient E un espace topologique localement connexe, $f$ une fonction numérique définie dans E. On suppose que: 1° pour toute partie connexe A de E, $f(A)$ est une partie connexe de $\overline{\mathbf{R}}$ (autrement dit un intervalle); 2° il existe dans $\mathbf{R}$ un ensemble partout dense D tel que pour tout $y \in D, f^{-1}(y)$ soit fermé dans E. Montrer que dans ces conditions $f$ est continue. (Pour tout $y_0 \in D$, montrer que l’ensemble des $x \in E$ tels que $f(x) > y_0$ est ouvert, en considérant les composantes connexes du complémentaire de $f^{-1}(y_0)$). Montrer que la propriété ne s’étend pas aux espaces E non localement connexes (considérer la fonction caractéristique de la composante connexe d’un ensemble ouvert).