Bài tập 16, § 6

Cho E là một không gian tôpô địa phương liên thông, $f$ là một hàm số được xác định trên E. Giả sử rằng: 1° với mọi tập con liên thông A của E, $f(A)$ là một tập con liên thông của $\overline{\mathbf{R}}$ (nói cách khác, là một khoảng); 2° tồn tại trong $\mathbf{R}$ một tập hợp trù mật D sao cho với mọi $y \in D, f^{-1}(y)$ là đóng trong E. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này $f$ là liên tục. (Đối với mọi $y_0 \in D$, chứng minh rằng tập hợp các $x \in E$ sao cho $f(x) > y_0$ là mở, bằng cách xét các thành phần liên thông của phần bù của $f^{-1}(y_0)$). Chứng minh rằng tính chất này không mở rộng được cho các không gian E không địa phương liên thông (xét hàm đặc trưng của thành phần liên thông của một tập mở).