Exercice 7, § 6

Soient $E$ un espace localement compact, $f$ une fonction semi-continue inférieurement dans $E$.

a) Si, pour tout $a \subset E$, on a $\limsup_{x \to a} f(x) = +\infty$, montrer que l’ensemble $f^{-1}(+\infty)$ est partout dense dans $E$ (pour tout $a \in E$ et tout voisinage $V$ de $a$, on définira une suite $(U_n)$ d’ensembles ouverts relativement compacts tels que $\overline{U}_{n+1} \subset U_n$ et que $f(x) > n$ pour tout $x \in U_n$).

b) Soit $n \mapsto r_n$ une bijection de $\mathbf{N}$ sur l’ensemble des nombres rationnels appartenant à $[0, 1]$, et soit $\varphi(x) = 1/\sqrt{|x|}$ (avec $\varphi(0) = +\infty$); la fonction $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \varphi(x - r_n)$ est semi-continue inférieurement dans $[0, 1]$, $f^{-1}(+\infty)$ est dense dans cet intervalle, ainsi que son complémentaire (pour prouver ce dernier point, observer que la série de terme général $2^{-n} \int_0^1 \varphi(x - r_n) \, dx$ est convergente (INT, IV, § 3, no 6, th. 5)).

c) Si $f$ est finie, montrer que l’ensemble des points $x$ tels que $\omega(x; f)$ soit finie est partout dense (utiliser $a$).

d) Montrer que l’ensemble des points de $E$ où $f$ est continue ($f$ étant fini ou non) est partout dense. (Se ramener au cas où $f$ est bornée, en remplaçant $f$ par $f/(1 + |f|)$ exerc. 4); observer que $1/\omega(x; f)$ est semi-continue inférieurement, utiliser $a$ et l’exerc. 6 c) de IV, p. 56).