Bài tập 7, § 6

Cho $X$ là một không gian compact địa phương và $f$ là một hàm nửa liên tục dưới trên $X$.

a) Nếu $\limsup_{x \to a} f(x) = +\infty$ với mọi $a \in X$, hãy chứng minh rằng tập hợp $\overline{f}^{-1}(+\infty)$ là trù mật trong $X$ [với mỗi $a \in X$ và mỗi lân cận $V$ của $a$, hãy định nghĩa một dãy $(U_n)$ các tập mở tương đối compact sao cho $\overline{U}_{n+1} \subset U_n$ và $f(x) > n$ với mọi $x \in U_n$].

b) Cho $n \to r_n$ là một song ánh của $\mathbf{N}$ lên tập hợp các số hữu tỉ thuộc $[0, 1]$, và cho $\varphi(x) = 1/\sqrt{|x|}$ [với $\varphi(0) = +\infty$]; khi đó hàm $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n} \varphi(x - r_n)$ là nửa liên tục dưới trên $[0, 1]$, $\overline{f}^{-1}(+\infty)$ là trù mật trong khoảng này, và phần bù của nó cũng vậy [để chứng minh điểm cuối cùng, nhận xét rằng chuỗi hội tụ mà số hạng tổng quát là

(Tích phân, Chương IV, § 3, no. 6, Định lý 5).]

c) Nếu $f$ là hữu hạn, hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm $x$ sao cho $\omega(x; f)$ là hữu hạn là trù mật [dùng a)].

d) Hãy chứng minh rằng tập hợp các điểm của $X$ tại đó $f$ liên tục ($f$ hữu hạn hay không) là trù mật. [Rút gọn về trường hợp trong đó $f$ bị chặn, bằng cách thay thế $f$ bởi $f/(1 + |f|)$ (Bài tập 4); nhận xét rằng $1/\omega(x; f)$ là nửa liên tục dưới và dùng a) và Bài tập 6 c)].