Exercice 12, § 7

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels finis. Pour toute permutation $\sigma$ de l’ensemble $\mathbf{N}$, on pose

a) Si la série de terme général $u_n$ est convergente, et si $\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$, montrer que la série de terme général $v_n = u_{\sigma(n)}$ est convergente et a même somme. (Considérer pour de grandes valeurs de $n$ la différence $\sum_{k=0}^n v_k - \sum_{k=0}^n u_k$, et si $h$ est le plus petit entier $\leq n$ tel que $\sigma(h) > n$, remarquer que dans la différence précédente, il y a au plus $\sigma(h) - h$ termes dans chacune des deux sommes qui ne disparaissent pas.)

b) On suppose que la série de terme général $u_n$ est convergente. Donner un exemple de permutation $\sigma$ telle que $\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$, mais que le critère de III, p. 79, exerc. 5 a) ne soit pas vérifié. (Définir de façon convenable une famille d’intervalles $I_k = [n_k - 2k, n_k + 2k]$ deux à deux sans point commun dans $\mathbf{N}$, et prendre $\sigma$ tel que $\sigma(n) = n$ lorsque $n$ n’appartient à aucun des $I_k$, et $\sigma(n_k - 2j) = n_k + 2j, \sigma(n_k + 2j) = n_k - 2j$ pour tout $k$ et $0 \leq j \leq k$).