Bài tập 12, § 7

Cho $(u_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn. Với mỗi phép hoán vị $\sigma$ của tập hợp $\mathbf{N}$, đặt

a) Nếu chuỗi có số hạng tổng quát $u_n$ hội tụ, và nếu $\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$, hãy chứng minh rằng chuỗi có số hạng tổng quát $v_n = u_{\sigma(n)}$ hội tụ đến cùng một tổng. [Xét hiệu $\sum_{k=0}^n v_k - \sum_{k=0}^n u_k$ với các giá trị lớn của $n$, và nếu $h$ là số nguyên nhỏ nhất $\leq n$ sao cho $\sigma(h) > n$, chú ý rằng trong hiệu này có nhiều nhất $\sigma(h) - h$ số hạng trong mỗi một trong hai tổng không triệt tiêu nhau]. b) Giả sử rằng chuỗi mà số hạng tổng quát là $u_n$ hội tụ. Hãy cho một ví dụ về một phép hoán vị $\sigma$ sao cho $\lim_{n \to \infty} r(n) = 0$ nhưng tiêu chuẩn của Chương III, § 5, Bài tập 6 a) không được thỏa mãn. [Định nghĩa một họ các khoảng rời nhau từng đôi một $I_k = [n_k - 2k, n_k + 2k]$ trong $\mathbf{N}$, và lấy $\sigma$ sao cho $\sigma(n) = n$ bất cứ khi nào $n$ không thuộc bất kỳ $I_k$ nào, và sao cho $\sigma(n_k - 2j) = n_k + 2j$, $\sigma(n_k + 2j) = n_k - 2j$ với mọi $k$ và $0 \leq j \leq k$].