Exercice 13, § 7

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels $\geq 0$ tels que $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$, et $\sum_{n=0}^\infty u_n = +\infty$. Soit $(p_n)$ une suite strictement croissante de nombres $> 0$ tels que $\lim_{n \to \infty} p_n = +\infty$. Montrer qu’il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour tout $n \in \mathbf{N}$,