Bài tập 13, § 7

Cho $(u_n)$ là một dãy số thực $\geq 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ và $\sum_{n=0}^\infty u_n = +\infty$. Cho $(p_n)$ là một dãy tăng ngặt các số $> 0$ sao cho $\lim_{n \to \infty} p_n = +\infty$. Chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ sao cho với mỗi $n \in \mathbf{N}$, $\sum_{k=0}^n u_{\sigma(n)} \leq p_n$.