Exercice 14, § 7

Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels finis telle que la série de terme général $u_n$ soit convergente, mais non absolument convergente; soit $s = \sum_{n=0}^\infty u_n$. Montrer que, pour tout nombre $s' \geq s$, il existe une permutation $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telle que $\sigma(n) = n$ pour les indices $n$ tels que $u_n \geq 0$, et que $\sum_{n=0}^\infty u_{\sigma(n)} = s'$. (Montrer par récurrence sur $m$ qu’il y a une permutation $\sigma_m$ de $\mathbf{N}$ telle que $\sigma_m(k) = k$ pour tout $k$ tel que $u_k \geq 0$ et que, si on pose $u_k^{(m)} = u_{\sigma_m(k)}$, il y a un entier $p_m$ tel que, pour $k \geq p_m$, on ait $|s' - \sum_{i=0}^k u_i^{(m)}| \leq 1/m$. En outre, $\sigma_{m+1}$ est tel que $\sigma_{m+1}(k) = \sigma_m(k)$ pour tout $k$ tel que $\sigma_m(k) < p_m$ et tout $k$ tel que $u_k \leq -1/m$.)