Bài tập 14, § 7

Cho $(u_n)$ là một dãy các số thực hữu hạn sao cho chuỗi có số hạng tổng quát là $u_n$ hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối; đặt $s = \sum_{n=0}^\infty u_n$. Chứng minh rằng, với mỗi số $s' \geq s$, tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ sao cho $\sigma(n) = n$ đối với những chỉ số $n$ sao cho $u_n \geq 0$, và sao cho $\sum_{n=0}^{\infty} u_{\sigma(n)} = s'$. [Chứng minh bằng quy nạp theo $m$ rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma_m$ của $\mathbf{N}$ sao cho $\sigma_m(k) = k$ với mọi $k$ mà $u_k \geq 0$ và sao cho, nếu $u_k^{(m)}$ ký hiệu $u_{\sigma_m(k)}$, thì có một số nguyên $p_m$ có tính chất rằng $\left| s' - \sum_{i=0}^k u_i^{(m)} \right| \leq 1/m$ với mọi $k \geq p_m$. Hơn nữa, $\sigma_{m+1}$ sao cho $\sigma_{m+1}(k) = \sigma_m(k)$ với mọi $k$ sao cho $\sigma_m(k) < p_m$ và mọi $k$ sao cho $u_k \leq -1/m$.]