Exercice 3, § 8

Soit $a$ un entier $> 1$. Pour qu’un nombre réel $x$ soit rationnel, il faut et il suffit que son développement de base $a$, $x = p_0 + \sum_{n=1}^\infty u_n a^{-n}$ soit périodique, c’est-à-dire qu’il existe deux entiers $n_0$ et $r > 0$ tels que $u_{n+r} = u_n$ pour tout $n \geq n_0$.