Exercice 1, Annexe 2

Soit E un espace topologique séparé, dans lequel on a défini une loi de composition associative, notée multiplicativement. Généraliser la déf. 1 de IX, p. 79, au cas d’une famille $(x_i)_{i \in I}$ d’éléments de E, dont l’ensemble d’indices I est totalement ordonné; pour toute partie finie J de I, on désignera par $p_J$ le produit $\prod_{i \in J} x_i$ de la séquence $(x_i)_{i \in J}$.

Si E est un groupe topologique complet, pour qu’une famille $(x_i)_{i \in I}$ de points de E soit multipliable, il faut et il suffit que pour tout voisinage V de l’élément neutre e de E, il existe une partie finie $J_0$ de I telle que, pour toute partie finie J de I contenant $J_0$, on ait $p_J(p_{J_0})^{-1} \in V$ (ou $(p_{J_0})^{-1} p_J \in V$).