Exercice 2, Annexe 2

Dans un ensemble totalement ordonné I, on dira qu’une partie non vide J est un tronçon si, quels que soient les éléments $\alpha, \beta$ de J tels que $\alpha < \beta$, on a $(\alpha, \beta) \subset J$.

a) Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille multipliable dans un groupe complet $G$. Montrer que, pour tout tronçon $J$ de $I$, la famille $(x_i)_{i \in J}$ est multipliable (considérer d’abord le cas particulier où l’ensemble des minorants de $J$, n’appartenant pas à $J$, est vide).

b) On dit qu’une partition $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ de $I$ est une partition ordonnée si $L$ est un ensemble totalement ordonné, et si les relations $\lambda < \mu, \alpha \in J_\lambda, \beta \in J_\mu$ entraînent $\alpha < \beta$; les $J_\lambda$ sont alors des tronçons de $I$. Si $(x_i)_{i \in I}$ est une famille multipliable dans un groupe complet $G$, montrer que, si on pose $p_\lambda = \prod_{i \in J_\lambda} x_i$, la famille $(p_\lambda)_{\lambda \in L}$ est multipliable et a même produit que $(x_i)_{i \in I}$.

c) Inversement, si $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ est une partition ordonnée finie de $I$, et si $(x_i)_{i \in I}$ est telle que chacune des familles $(x_i)_{i \in J_\lambda}$ soit multipliable, la famille $(x_i)_{i \in I}$ est multipliable.