Bài tập 2, Phụ lục 2

Trong một tập sắp thứ tự toàn phần I, một tập con khác rỗng J sẽ được gọi là một đoạn nếu, với bất kỳ các phần tử $\alpha, \beta$ của J sao cho $\alpha < \beta$, ta có $(\alpha, \beta) \subset J$.

(a) Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ nhân được trong một nhóm đầy đủ $G$. Bây giờ chứng minh rằng, với mọi đoạn $J$ của $I$, họ $(x_i)_{i \in J}$ là nhân được (trước hết xét trường hợp riêng trong đó tập hợp các cận dưới của $J$, không thuộc về $J$, là rỗng).

(b) Một phân hoạch $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ của $I$ được gọi là một phân hoạch có thứ tự nếu $L$ là một tập sắp thứ tự toàn phần, và nếu các quan hệ $\lambda < \mu, \alpha \in J_\lambda, \beta \in J_\mu$ kéo theo $\alpha < \beta$; khi đó các $J_\lambda$ là các đoạn của $I$. Nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ nhân được trong một nhóm đầy đủ $G$, bây giờ chứng minh rằng, nếu đặt $p_\lambda = \prod_{i \in J_\lambda} x_i$, thì họ $(p_\lambda)_{\lambda \in L}$ là nhân được và có cùng tích với $(x_i)_{i \in I}$.

(c) Ngược lại, nếu $(J_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một phân hoạch có thứ tự hữu hạn của $I$, và nếu $(x_i)_{i \in I}$ là một họ sao cho mỗi họ $(x_i)_{i \in J_\lambda}$ đều nhân được, thì họ $(x_i)_{i \in I}$ là nhân được.