Exercice 3, Annexe 2

Soit $G$ un groupe topologique séparé tel qu’il existe un voisinage $V_0$ de l’élément neutre $e$, dans lequel $x \mapsto x^{-1}$ soit uniformément continue (comme application de $G_d$ dans $G_d$; cf. III, p. 25, prop. 9). Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille multipliable de points de $G$; montrer que, pour tout voisinage $U$ de $e$, il existe une partie finie $J_0$ de $I$ telle que, pour toute partie finie $K$ de $I$ contenue dans un tronçon de $I$ qui ne rencontre pas $J_0$, on ait $p_K \in U$. (Montrer d’abord qu’il existe une partie finie $H_0$ de $I$ et un nombre fini de points de $G$, $a_1, a_2, \ldots, a_q$ tels que, pour toute partie finie $L$ de $I$ contenue dans un tronçon ne rencontrant pas $H_0$, on ait $p_L \in a_k V'_0 a_k^{-1}$ pour un indice $k$ au moins, $V'_0$ étant un voisinage de $e$ tel que $V'_0 V'_0 \subset V_0$. Se borner ensuite à considérer les parties finies contenues dans un des intervalles ouverts dont les extrémités sont deux indices consécutifs de $H_0$; utiliser le raisonnement de l’exerc. 2 a), et la continuité uniforme de $x^{-1}$ dans chacun des voisinages $a_k V_0 a_k^{-1}$).

En déduire que, dans les mêmes conditions, on a $\lim x_I = e$ suivant le filtre des complémentaires des parties finies de $I$ (si $I$ est infini).