Bài tập 3, Phụ lục 2

Cho $G$ là một nhóm tôpô tách được sao cho tồn tại một lân cận $V_0$ của phần tử đơn vị $e$, trong đó ánh xạ $x \mapsto x^{-1}$ là liên tục đều (như một ánh xạ từ $G_d$ vào $G_d$; xem III, p. 25, mệnh đề 9). Cho $(x_i)_{i \in I}$ là một họ điểm khả tích của $G$; bây giờ chứng minh rằng, với mọi lân cận $U$ của $e$, tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $I$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $K$ của $I$ được chứa trong một đoạn của $I$ không gặp $J_0$, ta có $p_K \in U$. (Trước hết chứng minh rằng tồn tại một tập con hữu hạn $H_0$ của $I$ và một số hữu hạn điểm của $G$, $a_1, a_2, \ldots, a_q$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $I$ được chứa trong một đoạn không gặp $H_0$, ta có $p_L \in a_k V'_0 a_k^{-1}$ với ít nhất một chỉ số $k$, $V'_0$ là một lân cận của $e$ sao cho $V'_0 V'_0 \subset V_0$. Sau đó chỉ xét các tập con hữu hạn được chứa trong một trong các khoảng mở mà hai đầu mút của chúng là hai chỉ số liên tiếp của $H_0$; sử dụng lập luận của Bài tập 2 a), và tính liên tục đều của $x^{-1}$ trong mỗi lân cận $a_k V_0 a_k^{-1}$).

Suy ra rằng, với cùng các điều kiện đó, ta có $\lim x_I = e$ theo lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của $I$ (nếu $I$ là vô hạn).