Exercice 6, Annexe 2

Soit $A$ l’algèbre (sur $\mathbf{R}$) des applications numériques bornées définies dans l’intervalle $E = [1, + \infty[$ de $\mathbf{R}$, normée par la norme $\|f\| = \sup_{x \in E} |f(x)|$. Pour tout entier $n > 0$, soit $u_n$ la fonction égale à $1/n$ pour $n \leq x \leq n+1$, à 0 aux autres points de $E$. Montrer que la famille $(1 + u_n)$ est multipliable dans $A$, mais que la série de terme général $u_n$ n’est pas absolument sommable dans $A$.