Exercice 12, § 1

a) Soient X un espace localement compact, $\Phi$ l’ensemble des applications continues de X dans $[0,1]$, à support compact (IX, p. 46, déf. 2). Soit $\mathscr{U}_\alpha$ la structure uniforme la moins fine sur X rendant uniformément continues toutes les fonctions de $\Phi$; montrer que la structure $\mathscr{U}_\alpha$ est compatible avec la topologie de X, que le complété $\tilde{X}$ de X pour cette structure est compact, et que le complémentaire de X dans $\tilde{X}$ est vide ou réduit à un point (montrer que si X n’est pas compact le filtre des complémentaires des ensembles relativement compacts dans X est un filtre de Cauchy pour $\mathscr{U}_\alpha$). b) Montrer que la structure uniforme $\mathscr{U}_\alpha$ est la moins fine des structures uniformes compatibles avec la topologie de X. c) Inversement, soit X un espace complètement régulier tel que, dans l’ensemble des structures uniformes compatibles avec la topologie de X, il existe une structure $\mathscr{U}_\alpha$ moins fine que toutes les autres. Montrer que X est localement compact (en utilisant l’exerc. 11, montrer que X, muni de $\mathscr{U}_\alpha$, est précompact; puis faire voir que le complémentaire de X dans son complété pour la structure $\mathscr{U}_\alpha$ ne peut avoir plus d’un point). d) On suppose que X est localement compact et dénombrable à l’infini, donc (I, p. 68, prop. 15) réunion d’une suite croissante $(U_n)$ d’ensembles ouverts relativement compacts telle que $\overline{U}_n \subset U_{n+1}$. Montrer qu’il existe une fonction numérique f continue dans X, telle que $f(x) \leq n$ pour $x \in \overline{U}_n$ et $f(x) \geq n$ pour $x \notin \overline{U}_n$ (cf. IX, p. 102, exerc. 6). Soit $\mathscr{U}$ la structure uniforme la moins fine sur X rendant uniformément continues toutes les fonctions de $\Phi$ et la fonction f; montrer que cette structure est compatible avec la topologie de X et qu’il existe un entourage V de $\mathscr{U}$ tel que, pour tout $x \in X$, $V(x)$ soit relativement compact dans X (II, p. 37, exerc. 9).