Bài tập 12, § 1

Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn và cho $\beta X$ là phép compact hóa Stone-Čech của nó.

a) Cho $f$ là một hàm thực liên tục hữu hạn trên $\beta X$, sao cho $f(x) > 0$ với mọi $x \in X$, và sao cho tập hợp $A = \overline{f}(0) \subset \beta X - X$ là không rỗng. Khi đó tồn tại một dãy $(a_n)$ các điểm của $X$ sao cho dãy các số $\lambda_n = f(a_n) > 0$ là giảm nghiêm ngặt và sao cho $\lim_{n \to \infty} \lambda_n = 0$. Với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $I_n$ là một khoảng mở có tâm $\lambda_n$ trong $\mathbf{R}^*$, sao cho các khoảng đóng $\overline{I}_n$ rời nhau từng đôi một, và cho $M_n = \overline{f}(I_n) \cap X$. Với mỗi tập con $H$ của $N$, cho $M_H$ là hợp của các $M_n$ mà $n \in H$; với mỗi bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $N$ mịn hơn bộ lọc Fréchet, ký hiệu $\mathfrak{F}'$ là bộ lọc trên $X$ có các $M_H (H \in \mathfrak{F})$ làm cơ sở. Chứng minh rằng $\mathfrak{F}'$ là một bộ lọc chính quy hoàn toàn (Bài tập 8), và rằng nếu $\mathfrak{F}_1, \mathfrak{F}_2$ là hai siêu bộ lọc phân biệt trên $N$, mỗi siêu bộ lọc đều mịn hơn bộ lọc Fréchet, thì không tồn tại bộ lọc nào trên $X$ mịn hơn đồng thời từng bộ lọc $\mathfrak{F}_1', \mathfrak{F}_2'$. Suy ra rằng $\operatorname{Card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$ [dùng Bài tập 8 d) và Chương I, § 4, Bài tập 5].

b) Giả sử rằng $X$ là vô hạn và rời rạc. Chứng minh rằng cấu trúc đều cảm sinh trên $X$ bởi cấu trúc đều của $\beta X$ là cấu trúc đều của các phân hoạch hữu hạn (Chương II, § 2, no. 2 và § 4, Bài tập 12) [dùng Bài tập 11 b)]. Từ đó chứng minh rằng $\operatorname{Card}(\beta X) = 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$ (xem Chương I, § 4, Bài tập 5). Chứng minh rằng tồn tại một hàm thực liên tục $f \geq 0$ trên $X$ sao cho $\overline{f}(0)$ là không rỗng và được chứa trong $\beta X - X$.

c) Với cùng các giả thiết như trong b), chứng minh rằng nếu $A$ là một tập con đóng vô hạn của $\beta X$, thì $\operatorname{Card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$. [Trước hết hãy chỉ ra rằng tồn tại một dãy vô hạn $(a_n)$ các điểm của $A$, và với mỗi $n$ một lân cận $V_n$ của $a_n$ trong $\beta X$, các $V_n$ đôi một rời nhau; suy ra rằng mọi hàm giá trị thực bị chặn $f$ xác định trên tập hợp $D$ của các $a_n$ có thể được mở rộng thành một hàm liên tục trên $\beta X$; để làm điều này, xét một hàm giá trị thực $g$ xác định trên $X$ và bằng $f(a_n)$ tại mỗi điểm của $X \cap V_n$. Do đó kết luận rằng $\overline{D} \subset A$ là đồng phôi với compact hóa Stone-Čech của $D$ (xem § 4, Bài tập 17).]