Exercice 13, § 1

a) Soit X un espace complètement régulier, $\mathscr{U}_\omega$ sa structure uniforme universelle (IX, p. 86, exerc. 10); montrer que la structure $\mathscr{U}_\omega^*$ (IX, p. 86, exerc. 11) est la structure uniforme induite sur X par celle de son compactifié de Stone-Čech $\beta X$ (IX, p. 10). b) Montrer que l’espace compact $\tilde{X}$ défini dans I, p. 110, exerc. 26, est canoniquement isomorphe à $\beta X$.

c) Avec les notations de I, p. 109, exerc. 25, montrer qu’il existe une application continue surjective et une seule $X' \to \beta X$ qui se réduit à l’identité dans $X$.

d) On suppose que les ensembles à la fois ouverts et fermés forment une base de la topologie de $X$; alors l’espace compact $\tilde{X}$ défini dans II, p. 38, exerc. 12 b), est canoniquement homéomorphe à $\tilde{X}$ et à $\beta X$.

e) Déduire que d) que si $X$ est la planche de Tychonoff (IX, p. 65, exerc. 8), $\beta X$ s’identifie à l’espace compact $I \times J, \beta X - X$ étant donc réduit à un seul point. Montrer les applications surjectives canoniques $X' \to \beta X$ et $X'' \to \beta X$ ne sont alors pas bijectives, et par suite $X''$ n’est pas séparé (pour voir que $X' \to \beta X$ n’est pas bijective, observer qu’il existe sur $\mathbf{N}$ une infinité d’ultrafiltres non triviaux).