Exercice 15, § 1

Soit $X$ un espace complètement régulier. On dit que deux ensembles fermés $A, B$ dans $X$ sont normalement séparés s’il existe une application continue $f$ de $X$ dans $\{0, 1\}$ telle que $f(x) = 0$ dans $A$ et $f(x) = 1$ dans $B$.

a) Montrer que, pour que $A$ et $B$ soient normalement séparés, il faut et il suffit que leurs adhérences dans $\beta X$ soient sans point commun (utiliser IX, p. 85, exerc. 5).

b) Soient $h$ un homéomorphisme de $X$ sur une partie partout dense $Y$ d’un espace compact $K$, $\bar{h}$ l’application continue de $\beta X$ sur $K$ qui prolonge $h$. On suppose que pour tout couple de parties fermées $A, B$ de $X$, normalement séparées, les adhérences de $h(A)$ et $h(B)$ dans $K$ soient sans point commun. Montrer que $\bar{h}$ est un homéomorphisme de $\beta X$ sur $K$. (Prouver que $\bar{h}$ est injectif: si $a, b$ sont deux points distincts de $\beta X$ tels que $\bar{h}(a) = \bar{h}(b)$, considérer une application continue $f$ de $\beta X$ dans $\{0, 1\}$ telle que $f(a) = 0$ et $f(b) = 1$, et les ensembles de points $x \in X$ où l’on a respectivement $f(x) \leq \frac{1}{3}$ et $f(x) \geq \frac{2}{3}$.)

c) Soit $X$ un espace complètement régulier, $A$ une partie quelconque de $\beta X - X$. Montrer que l’application canonique $\beta(\beta X - A) \to \beta X$ est un homéomorphisme.