Bài tập 15, § 1

a) Cho $X$ là một không gian compact địa phương và cho $\Phi$ là tập hợp tất cả các ánh xạ liên tục $g : X \to [0, 1]$ bằng không trên phần bù của một tập compact nào đó (phụ thuộc vào $g$). Cho $\mathscr{U}_1$ là tôpô đồng nhất thô nhất trên $X$ sao cho tất cả các ánh xạ $g \in \Phi$ đều liên tục đều. Chứng minh rằng $\mathscr{U}_1$ tương thích với tôpô của $X$, rằng bao đầy đủ $\hat{X}$ của $X$ đối với $\mathscr{U}_1$ là compact, và rằng $X \setminus \hat{X}$ gồm nhiều nhất một điểm (chứng minh rằng nếu $X$ không compact, lọc các phần bù của các tập con compact tương đối của $X$ là một lọc Cauchy đối với $\mathscr{U}_1$).

b) Chứng minh rằng $\mathscr{U}_1$ là tôpô đồng nhất thô nhất tương thích với tôpô của $X$.

c) Ngược lại, cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn sao cho tập hợp các tôpô đồng nhất tương thích với tôpô của $X$ có một phần tử nhỏ nhất $\mathscr{U}_1$. Chứng minh rằng $X$ là compact địa phương. (Sử dụng Bài tập 6, chứng minh rằng $X$ là tiền compact đối với $\mathscr{U}_1$; sau đó chứng minh rằng phần bù của $X$ trong bao đầy đủ của nó đối với $\mathscr{U}_1$ không thể có nhiều hơn một điểm.)

d) Giả sử rằng $X$ là compact địa phương và $\sigma$-compact, và do đó là hợp của một dãy tăng $(\mathbf{U}_n)$ các tập mở compact tương đối sao cho $\overline{\mathbf{U}}_n \subset \mathbf{U}_{n+1}$ (chương I, § 9, no. 9, Mệnh đề 15). Chứng minh rằng tồn tại một hàm thực liên tục $f$ trên $X$, sao cho $f(x) \leq n$ với $x \in \overline{\mathbf{U}}_n$ và $f(x) \geq n$ với $x \in \mathbf{C} \mathbf{U}_n$ [xem Bài tập 10 a)]. Cho $\mathscr{U}_2$ là tôpô đồng nhất thô nhất trên $X$ sao cho $f$ và tất cả các hàm $g \in \Phi$ đều liên tục đều. Chứng minh rằng $\mathscr{U}_2$ tương thích với tôpô của $X$ và rằng tồn tại một lân cận $V$ của $\mathscr{U}_2$ sao cho $V(x)$ là compact tương đối trong $X$ với mọi $x \in X$ (xem chương II, § 4, Bài tập 9).