Exercice 19, § 1

Soit $X$ un espace complètement régulier. a) Soit A une partie de $X$, réunion d’une suite $(F_n)$ d’ensembles fermés, et soit $x \notin A$. Montrer qu’il existe une fonction numérique finie $f \geq 0$, continue dans $X$, telle que $f(x) = 0$ et $f(y) > 0$ pour tout $y \in A$ (prendre $f$ comme somme d’une série convergente convenable de fonctions continues). b) Soit $a$ un point de $X$; pour qu’il existe une fonction $f \geq 0$ continue dans $X$ et telle que $f(a) = 0, f(x) > 0$ pour tout $x \neq a$, il faut et il suffit qu’il existe une suite $(V_n)$ de voisinages de $a$ dont l’intersection est réduite à $a$. c) On suppose que tout point de $X$ admet un système fondamental dénombrable de voisinages. Montrer que dans $\beta X$, $X$ est égal à l’ensemble des points admettant un système fondamental dénombrable de voisinages (utiliser b) et l’exerc. 17). Soit Y un second espace complètement régulier dont tous les points admettent un système fondamental dénombrable de voisinages; montrer que si les compactifiés de Stone-Čech $\beta X$ et $\beta Y$ sont homéomorphes, $X$ et $Y$ sont homéomorphes.