Exercice 24, § 2

a) Soient X un espace métrisable, d une distance bornée compatible avec la topologie de X, σ la distance correspondant à d sur l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de X (IX, p. 91, exerc. 6). Soit R une relation d’équivalence à la fois ouverte et fermée dans X; montrer que la restriction de σ à X/R est une distance compatible avec la topologie quotient. (Utiliser l’exerc. 23 b) pour montrer que toute classe suivant R est ouverte ou compacte. Prouver ensuite que si une suite (z_n) dans X/R tend vers un point a, et si φ est l’application canonique de X sur X/R, $\sigma(\varphi^{-1}(a), \varphi^{-1}(z_n))$ tend vers 0; on raisonnera par l’absurde en utilisant le fait que R est ouverte).

b) Dans l’intervalle compact I = [0, 1] de $\mathbf{R}$, soit R la relation d’équivalence dont les classes sont les points de l’ensemble de Cantor K (IV, p. 9) distincts des extrémités des intervalles contigus à K, et les adhérences des intervalles contigus à K. Montrer que l’espace quotient I/R est homéomorphe à I (IV, p. 64, exerc. 16 b)), mais que sur I/R, la distance σ n’est pas compatible avec la topologie.