Bài tập 24, § 2

a) Cho $X$ là một không gian mêtric đầy đủ, và cho $A$ là một tập con của $X$ là giao của một họ đếm được các tập hợp mở. Hãy chứng minh rằng tồn tại một mêtric trên $A$ đối với mêtric đó $A$ là một không gian mêtric đầy đủ, và mêtric này xác định trên $A$ tôpô cảm sinh bởi tôpô của $X$ đồng thời xác định một cấu trúc đều mịn hơn cấu trúc đều cảm sinh bởi cấu trúc đều của $X$ [xem $§ 1$, Bài tập 16 b) và c)].

b) Ngược lại, cho $X$ là một không gian mêtric hóa được và cho $A$ là một tập con của $X$ sao cho tồn tại một mêtric $d$ trên $A$ tương thích với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $X$ và đối với mêtric đó $A$ là một không gian mêtric đầy đủ. Hãy chứng minh rằng $A$ là một giao đếm được của các tập hợp mở trong $X$. [Với mỗi số nguyên $n > 0$, xét tập hợp $G_n$ gồm các điểm $x \in \overline{A}$ có một lân cận mở $U$ sao cho đường kính của $A \cap U$ (đối với $d$) là $\leqslant 1/n$.]